次日。
林决从酒店离开，来到北大。
昨天许渊便给了他一张临时通行证，以及一张饭卡。
这俩东西，足够他在北大内来去自如了。
至于陈之年，今天还要帮林决跑特青材料，估计要下午才能办好。
八点半。
林决进了校门。
搭乘校内通勤车来到数院后。
他沿着走廊找了几间办公室，但都没看到江维汉的身影。
没办法，他只好拦住一个路过的数院学长询问。
然后才知道。
江教授上午在智华楼有节公共课。
又是过了十几分钟。
林决终于找到那间教室。
他从后门悄悄进去，在最后一排靠墙的位置坐下。
此时教室里坐了大半满，但都在认真看着前方的电子黑板，根本没人注意到溜进来的他。
林决伸着脖子看去。
讲台上。
江维汉正一边写着板书，一边说着，
“........上节课我们讨论了BanaCh空间上有界线性算子的基本性质，
今天来继续推进SpeCtral TheOry的基本框架。”
“这个框架搭建的第一步！我们需要这样做.......”
江维汉的语速很快。
板书在黑板上划过，只留下几行紧凑的公式。
至于中间的推导步骤。
懂的下来自己完善。
略懂的自己下来看书，自己查证，自己补全。
至于不懂的？
不懂的那别学了呗！
没那天赋学什么数学！？
早点回家养猪啊！
看着这种学术氛围。
林决忍不住笑了笑。
果然不愧是全国第一的数院！
一般人光是跟上这种快速的课程节奏，那都得备着氧气瓶吧！？
终于。
讲到后半段的时候，江维汉转过来，目光扫了一圈台下，笑道，
“........好了，问一个问题！”
“设T: C[0，1] → C[0，1]，定义VOlterra积分算子——Tf(X) = ∫₀ˣ f(t)dt.......”
“那么要怎么证明，T没有非零特征值？”
说完，江维汉目光在教室中扫了一圈。
“给大家五分钟时间讨论，只简单说下思路就行。”
一时间。
整个教室开始变得躁动起来。
有些坐在一起的人，自发形成讨论小组。
他们语气激昂，唾沫横飞，似乎在从多个角度分析此题可行的路径。
至于江维汉......
他端着茶杯喝了一口，便把目光放在面前的电脑上。
........
五分钟的时间眨眼便逝。
江维汉从座位起身，目光扫了阶梯教室众人一眼，
“好了，现在有没有思路！？”
教室里安静几秒钟后。
一个穿格子衬衫的男生举手。
江维汉笑了笑，抬手示意，
“你来说说......”
那格子衬衫男生轻咳两声，
“我觉得可以用用谱映射定理来证！”
“VOlterra算子是紧算子，非零谱只能是特征值，又因为它是拟幂零的，谱半径为零，所以不可能有非零特征值。”
江维汉听完，先问了一句，
“谱半径为零推出谱集只含零，这一步你跳过了，这个省略恰好是这道题要证的核心。”
“额.......”
格子衬衫的学生挠了挠头，神情有些尴尬。
江维汉摆摆手，笑道，
“没事，你的思路还是可取的，就是对这道题不太适用。”
“好吧.......”
格子男生无奈苦笑。
紧接着，又有一个女生站起来，
“老师，我觉得用RieSZ-SChaUder理论可行！”
“VOlterra算子的核是连续的，属于Hilbert-SChmidt算子，它的谱除了零以外只能是离散的。
这类VOlterra型算子的一个经典结论就是谱是单点集{0}，所以没有非零特征值。”
江维汉还是摇了摇头，
“你引的经典结论本身就是今天要推的命题，你总不能用它来证它自己吧？”
这话一出，教室里有人忍不住笑了。
“哈哈哈哈！”
“泛函经典永传的自我闭环证明啊，这不纯纯逻辑套娃嘛！”
“不过江教授给五分钟确实太短了啊，这问题深度又这么大！”
听着众人的讨论。
林决也不由得一笑。
大家说的其实没毛。
一来。
江教授只给了五分钟时间。
大多数人仓促之下，根本来不及完整梳理整套公理，引理到最终命题的逻辑依赖链条。
所以在这种情况下，许多人便几乎是下意识用上经典结论，将同源，等价的两种表述割裂成两个独立定理。
其次。
VOlterra 算子谱性质本身，就是泛函分析核心经典命题。
平日学习，众人也是大多直接套用结论解题，很少有机会从头闭环推导。
所以，那个小姐姐才在无意间，陷入了用命题本身证明自身的逻辑误区。
这在一定时间下的高阶数学推演中。
算是挺常见的疏漏了。
有了两个前车之鉴后。
此时教室里众人也都安静下来，没人再敢轻易发言了。
然而，就在如此境况中......
教室后排传来一个声音。
“老师！我来！！！”
听到熟悉的声音，江维汉一怔，他猛然抬头看去。
当看到那张熟悉的脸厚，老者脸上不禁露出些许惊愕的神色。
但随即，那股惊愕化为了惊喜，江维汉朗声一笑，
“那行！林决你来试试！”
与此同时。
教室里的学生们，也看到了江老那明显的表情变化。
他们心中也不由纷纷得好奇。
这个同龄人到底是什么来路，才能让江老露出这般惊喜神色！
在众人注视之中。
林决站起来，语气平稳而自信开口，
“假设λ ≠ 0是特征值，f是相应的特征函数。”
“那么∫₀ˣ f(t)dt = λf(X)。”
“两边求导得f(X) = λf'(X)，即f'(X) = (1/λ)f(X)。”
“通解f(X) = Ce^(X/λ)。”
“可得C = 0，f ≡ 0矛盾！故没有非零特征值！”
教室里众人静静听他说完。
有人皱眉，有人在草稿纸上写写画画，有人已经开始惊叹。
而江维汉只是笑道，
“那λ = 0呢？还有........在L²[0，1]上，它的谱是什么？”
林决只是思考片刻，便再次答道，
“λ = 0同样不是特征值！”
“Tf = 0推出∫₀ˣ f(t)dt ≡ 0，在C[0，1]上同样只有零解！”
“在L²[0，1]上，它是紧算子，且是拟幂零的......”
“‖Tⁿ‖^{1/n} 到0，谱半径为零......”
“所以σ(T) = {0}！”
说到这里，林决笑了笑，
“老师，我说得对吗？”
江维汉失笑摇头，满脸欣慰，“对......哦不，应该说是非常完美！”
这话一出。
教室里的北大数院学子们瞬间炸锅！
“牛逼啊！！！”
“这谁啊？怎么有点面生？”
“江院明显认识他啊，刚才叫他林决来着！”
“数院厉害的人里.......有叫这个的吗？”
林决从酒店离开，来到北大。
昨天许渊便给了他一张临时通行证，以及一张饭卡。
这俩东西，足够他在北大内来去自如了。
至于陈之年，今天还要帮林决跑特青材料，估计要下午才能办好。
八点半。
林决进了校门。
搭乘校内通勤车来到数院后。
他沿着走廊找了几间办公室，但都没看到江维汉的身影。
没办法，他只好拦住一个路过的数院学长询问。
然后才知道。
江教授上午在智华楼有节公共课。
又是过了十几分钟。
林决终于找到那间教室。
他从后门悄悄进去，在最后一排靠墙的位置坐下。
此时教室里坐了大半满，但都在认真看着前方的电子黑板，根本没人注意到溜进来的他。
林决伸着脖子看去。
讲台上。
江维汉正一边写着板书，一边说着，
“........上节课我们讨论了BanaCh空间上有界线性算子的基本性质，
今天来继续推进SpeCtral TheOry的基本框架。”
“这个框架搭建的第一步！我们需要这样做.......”
江维汉的语速很快。
板书在黑板上划过，只留下几行紧凑的公式。
至于中间的推导步骤。
懂的下来自己完善。
略懂的自己下来看书，自己查证，自己补全。
至于不懂的？
不懂的那别学了呗！
没那天赋学什么数学！？
早点回家养猪啊！
看着这种学术氛围。
林决忍不住笑了笑。
果然不愧是全国第一的数院！
一般人光是跟上这种快速的课程节奏，那都得备着氧气瓶吧！？
终于。
讲到后半段的时候，江维汉转过来，目光扫了一圈台下，笑道，
“........好了，问一个问题！”
“设T: C[0，1] → C[0，1]，定义VOlterra积分算子——Tf(X) = ∫₀ˣ f(t)dt.......”
“那么要怎么证明，T没有非零特征值？”
说完，江维汉目光在教室中扫了一圈。
“给大家五分钟时间讨论，只简单说下思路就行。”
一时间。
整个教室开始变得躁动起来。
有些坐在一起的人，自发形成讨论小组。
他们语气激昂，唾沫横飞，似乎在从多个角度分析此题可行的路径。
至于江维汉......
他端着茶杯喝了一口，便把目光放在面前的电脑上。
........
五分钟的时间眨眼便逝。
江维汉从座位起身，目光扫了阶梯教室众人一眼，
“好了，现在有没有思路！？”
教室里安静几秒钟后。
一个穿格子衬衫的男生举手。
江维汉笑了笑，抬手示意，
“你来说说......”
那格子衬衫男生轻咳两声，
“我觉得可以用用谱映射定理来证！”
“VOlterra算子是紧算子，非零谱只能是特征值，又因为它是拟幂零的，谱半径为零，所以不可能有非零特征值。”
江维汉听完，先问了一句，
“谱半径为零推出谱集只含零，这一步你跳过了，这个省略恰好是这道题要证的核心。”
“额.......”
格子衬衫的学生挠了挠头，神情有些尴尬。
江维汉摆摆手，笑道，
“没事，你的思路还是可取的，就是对这道题不太适用。”
“好吧.......”
格子男生无奈苦笑。
紧接着，又有一个女生站起来，
“老师，我觉得用RieSZ-SChaUder理论可行！”
“VOlterra算子的核是连续的，属于Hilbert-SChmidt算子，它的谱除了零以外只能是离散的。
这类VOlterra型算子的一个经典结论就是谱是单点集{0}，所以没有非零特征值。”
江维汉还是摇了摇头，
“你引的经典结论本身就是今天要推的命题，你总不能用它来证它自己吧？”
这话一出，教室里有人忍不住笑了。
“哈哈哈哈！”
“泛函经典永传的自我闭环证明啊，这不纯纯逻辑套娃嘛！”
“不过江教授给五分钟确实太短了啊，这问题深度又这么大！”
听着众人的讨论。
林决也不由得一笑。
大家说的其实没毛。
一来。
江教授只给了五分钟时间。
大多数人仓促之下，根本来不及完整梳理整套公理，引理到最终命题的逻辑依赖链条。
所以在这种情况下，许多人便几乎是下意识用上经典结论，将同源，等价的两种表述割裂成两个独立定理。
其次。
VOlterra 算子谱性质本身，就是泛函分析核心经典命题。
平日学习，众人也是大多直接套用结论解题，很少有机会从头闭环推导。
所以，那个小姐姐才在无意间，陷入了用命题本身证明自身的逻辑误区。
这在一定时间下的高阶数学推演中。
算是挺常见的疏漏了。
有了两个前车之鉴后。
此时教室里众人也都安静下来，没人再敢轻易发言了。
然而，就在如此境况中......
教室后排传来一个声音。
“老师！我来！！！”
听到熟悉的声音，江维汉一怔，他猛然抬头看去。
当看到那张熟悉的脸厚，老者脸上不禁露出些许惊愕的神色。
但随即，那股惊愕化为了惊喜，江维汉朗声一笑，
“那行！林决你来试试！”
与此同时。
教室里的学生们，也看到了江老那明显的表情变化。
他们心中也不由纷纷得好奇。
这个同龄人到底是什么来路，才能让江老露出这般惊喜神色！
在众人注视之中。
林决站起来，语气平稳而自信开口，
“假设λ ≠ 0是特征值，f是相应的特征函数。”
“那么∫₀ˣ f(t)dt = λf(X)。”
“两边求导得f(X) = λf'(X)，即f'(X) = (1/λ)f(X)。”
“通解f(X) = Ce^(X/λ)。”
“可得C = 0，f ≡ 0矛盾！故没有非零特征值！”
教室里众人静静听他说完。
有人皱眉，有人在草稿纸上写写画画，有人已经开始惊叹。
而江维汉只是笑道，
“那λ = 0呢？还有........在L²[0，1]上，它的谱是什么？”
林决只是思考片刻，便再次答道，
“λ = 0同样不是特征值！”
“Tf = 0推出∫₀ˣ f(t)dt ≡ 0，在C[0，1]上同样只有零解！”
“在L²[0，1]上，它是紧算子，且是拟幂零的......”
“‖Tⁿ‖^{1/n} 到0，谱半径为零......”
“所以σ(T) = {0}！”
说到这里，林决笑了笑，
“老师，我说得对吗？”
江维汉失笑摇头，满脸欣慰，“对......哦不，应该说是非常完美！”
这话一出。
教室里的北大数院学子们瞬间炸锅！
“牛逼啊！！！”
“这谁啊？怎么有点面生？”
“江院明显认识他啊，刚才叫他林决来着！”
“数院厉害的人里.......有叫这个的吗？”
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